在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1：y=ax^3+1与曲线C2：x^2+y^2=2.5的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是

Question

在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1：y=ax^3+1 与曲线C2：x^2+y^2=2.5 的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是

Answer 1

设点A的坐标为（x0,y0）,代入两曲线方程得：
y0=ax03+1①,x02+y02=②,
由曲线C1：y=ax3+1得：y′=3ax2,
则曲线C1在A处的切线的斜率k=3ax02,
所以C1在A处的切线方程为：y=3ax02（x-x0）+y0,
由C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,
得到切线方程y=3ax02（x-x0）+y0过圆C2的圆心（0,0）,
则有3ax02（0-x0）+y0=0,即y0=3ax03③,
把③代入①得：a=④,④代入③得：y0=⑤,⑤代入②得：x0=±,
当x0=时,代入④得：a=4；当x0=-时,代入④得：a=-4（由a＞0,不合题意,舍去）．
则实数a的值为4．