已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn2n−3(n+1)n}的前n项和为Sn．

Question

已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{b_n}中的b₃，b₄，b₅．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{(bn)/(2n−3(n+1)n)}的前n项和为S_n．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）设三个数分别为a-d，a，a+d，
∴a-d+a+a+d=15，
解得a=5…（2分）
三个数为5-d，5，5+d为正数，-5＜d＜5，
由题意知b₃=7-d，b₄=10，b₅=18+d成等比数列，…（4分）
∴10²=（7-d）（18+d），
∴d=2或 d=-13（舍），
∴b₃=5，b₄=10，b₅=20．…（6分）
∴bn＝b3qn−3＝5•2n−3；…（8分）
（2）由题意知(bn)/(2n−3(n2+n))＝(5•2n−3)/(2n−3(n2+n))＝5((1)/(n)−(1)/(n+1))…（10分）
Sn＝5(1−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n)−(1)/(n+1))＝5(1−(1)/(n+1))＝(5n)/(n+1)…（14分）