如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1-ABC的体积V．

Question

如图，AA₁B₁B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA₁=AB=2．

（1）求证：平面AA₁C⊥平面BA₁C；
（2）若AC=BC，求几何体A₁-ABC的体积V．

Answer 1

（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA₁⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA₁⊥BC，
而AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面AA₁C．
又BC⊂平面BA₁C，所以平面AA₁C⊥平面BA₁C．…（6分）
（2） 在Rt△ABC中，AB=2，则由AB²=AC²+BC²且AC=BC，
得AC=BC=√(2)，
所以VA1-ABC=(1)/(3)S△ABC•AA1=(1)/(3)•(1)/(2)•√(2)•√(2)•2=(2)/(3)．…（12分）