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如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.(1)求证:平面AA1C⊥平面BA1C;(2)若AC=BC,求几何体A1-ABC的体积V.
题目详情
如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.

(1)求证:平面AA1C⊥平面BA1C;
(2)若AC=BC,求几何体A1-ABC的体积V.

(1)求证:平面AA1C⊥平面BA1C;
(2)若AC=BC,求几何体A1-ABC的体积V.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:因为C是底面圆周上异于A,B的一点,AB是底面圆的直径,
所以AC⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,
而AC∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1C.
又BC⊂平面BA1C,所以平面AA1C⊥平面BA1C.…(6分)
(2) 在Rt△ABC中,AB=2,则由AB2=AC2+BC2且AC=BC,
得AC=BC=
,
所以VA1-ABC=
S△ABC•AA1=
•
•
•
•2=
.…(12分)
所以AC⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,
而AC∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1C.
又BC⊂平面BA1C,所以平面AA1C⊥平面BA1C.…(6分)
(2) 在Rt△ABC中,AB=2,则由AB2=AC2+BC2且AC=BC,
得AC=BC=
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所以VA1-ABC=
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