线性代数设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：B1=1/3（2a1+2a2-a3）,B2=1/3（2a1-a2+2a3）,B3=1/3(a1-2a2-2a3)也是它的一组标准正交基

Question

线性代数
设{a1,a2,a3}是R3的一组标准正交基,证明：B1=1/3（2a1+2a2-a3）,B2=1/3（2a1-a2+2a3）,B3=1/3(a1-2a2-2a3)也是它的一组标准正交基

Answer 1

第一,是基.
如果x1B1+x2B2+x3B3=0
则x1(2a1+2a2-a3)+x2(2a1-a2+2a3)+x3(a1-2a2-2a3)=0
即(2x1+2x2+x3)a1+(2x1-x2-2x3)a2+(-x1+2x2-2x3)a3=0
由于{a1,a2,a3}是基,则
2x1+2x2+x3=0
2x1-x2-2x3=0
-x1-2x2-2x3=0
解得x1=x2=x3=0
所以B1,B2,B3线性无关,所以是基
第二,正交.
==4/9-2/9-2/9=0
类似的
=0 (i不等于j)
第三,标准.
==4/9+4/9+1/9=1
类似的
==1
以上三条说明{B1,B2,B3}是一组标准正交基.
注：表示g和h的内积.