已知等差数列{an}的公差为-1，且a2+a7+a12=-6，（1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和

Question

已知等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）将数列{a_n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*总有S_n＜T_m+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）先利用a₂+a₇+a₁₂=-6以及等差数列的性质，求出a₇=-2，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前n项和S_n；
（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得T_m，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及S_n＜T_m+λ恒成立，即可求实数λ的取值范围．
【解析】
（1）由a₂+a₇+a₁₂=-6得a₇=-2，
所以a₁=4（4分）
∴a_n=5-n，
从而（6分）
（2）由题意知b₁=4，b₂=2，b₃=1（18分）
设等比数列b_n的公比为q，则，
∴
∵随m递减，
∴T_m为递增数列，得4≤T_m＜8（10分）
又，
故（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*总有S_n＜T_m+λ
则10＜8+λ，得λ＞2（14分）