如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°．

Question

如图，四边形A₁A₂A₃A₄内接于一圆，△A₁A₂A₃的内心是I₁，△A₂A₃A₄的内心是I₂，△A₃A₄A₁的内心是I₃．
求证：（1）A₂、I₁、I₂、A₃四点共圆；（2）∠I₁I₂I₃=90°．

Answer 1

证明：（1）如图，连接I₁A₁，I₁A₂，I₁A₃，I₂A₂和I₂A₃，
∵I₁是△A₁A₂A₃的内心，
∴∠I₁A₁A₂=∠I₁A₁A₃=(1)/(2)∠A₂A₁A₃，
∠I₁A₂A₁=∠I₁A₂A₃=(1)/(2)∠A₁A₂A₃，∠I₁A₃A₁=∠I₁A₃A₂=(1)/(2)∠A₁A₃A₂，
延长A₁I₁交四边形A₁A₂A₃A₄外接圆于P，则
∠A₂I₁A₃=∠A₂I₁P+∠PI₁A₃=∠I₁A₁A₂+∠I₁A₂A₁+∠I₁A₁A₃+∠I₁A₃A₁
=(1)/(2)（∠A₂A₁A₃+∠A₁A₂A₃+∠A₂A₃A₁）+(1)/(2)∠A₂A₁A₃=90°+(1)/(2)∠A₂A₁A₃，
同理∠A₂I₂A₃=90°+(1)/(2)∠A₂A₄A₃，
又∵四边形A₁A₂A₃A₄内接于一圆，
∴∠A₂A₁A₃=∠A₂A₄A₃，
∴∠A₂I₁A₃=∠A₂I₂A₃，
∴A₂、I₁、I₂、A₃四点共圆；
（2）又连接I₃A₄，则由（1）知A₃、I₂、I₃、A₄四点共圆，
∴∠I₁I₂A₃=180°-∠I₁A₂A₃=180°-(1)/(2)∠A₁A₂A₃
同理∠I₃I₂A₃=180°-∠I₃A₄A₃=180°-(1)/(2)∠A₁A₄A₃，
∴∠I₁I₂I₃=360°-（∠I₁I₂A₃+∠I₃I₂A₃）=(1)/(2)（∠A₁A₂A₃+∠A₁A₄A₃）=90°．