设Ω={（x，y，z）∈R3|x2+y2+（z-1）2≤1，x≥0，y≥0}，则∭ΩdΩx2+y2+z2=2π32π3．

Question

设Ω={（x，y，z）∈R³|x²+y²+（z-1）²≤1，x≥0，y≥0}，则

∭

Ω

(dΩ)/(√(x2+y2+z2))=

(2π)/(3)

(2π)/(3)

．

Answer 1

由题意，令

x＝rsinφcosθ

y＝rsinφsinθ

z＝rcosφ

，则
Ω＝{(r，θ，φ)|0≤θ≤(π)/(2)，0≤φ≤π，0≤r≤2φ}
∴

∭

Ω

(dΩ)/(√(x2+y2+z2))=

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

π 0

sinφdφ

∫

2cosφ 0

(r2)/(r)dr
=π

∫

π 0

cos2φsinφdφ
=−(π)/(3)cos3φ

|

π 0

＝(2π)/(3)