微分方程问题设y1(x),y2(x)是y"+q(x)y=0的任意两个解,q（x）在（a,b）连续,证明y1,y2的郎斯基行列式恒等于常数,x∈（a,b）

Question

微分方程问题
设y1(x),y2(x)是y"+q(x)y=0的任意两个解,q（x）在（a,b）连续,证明y1,y2的郎斯基行列式恒等于常数,x∈（a,b）

Answer 1

因为y1(x),y2(x)是y"+q(x)y=0的任意两个解,
所以y1''+q(x)y1=0
y2''+q(x)y2=0
解得y1''=-q(x)y1--------------1
y2''=-q(x)y2--------------2
要证明朗斯宾行列式w(y1,y2)= |y1 y2|=y1y2'-y2y1'=C
|y1' y2'|
只要证明他的导数等于0就行了.
因为w'(y1,y2)=(y1y2'-y2y1')'=y1y2''-y2y1''=y1(-q(x)y2)-y2(-q(x)y1)=0
所以w(y1,y2)=C