在（a-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数为207，则x6的系数为．

Question

在（a-x³）（1+x）¹⁰的展开式中，x⁵的系数为207，则x⁶的系数为______．

Answer 1

（a-x³）（1+x）¹⁰=a（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
则（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是a（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，
由二项式定理，（1+x）¹⁰的展开式的通项为T_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得a（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数为aC₁₀⁵，
令r=2，得其展开式的含x²的系数为C₁₀²
则x⁵的系数是aC₁₀⁵-C₁₀²=252a-45=207，
∴a=1，
∴x⁶的系数为（1+x）¹⁰的展开式中的x⁶的系数减去（1+x）¹⁰的x³的系数，即C₁₀⁶-C₁₀³=90．
故答案为：90．