求积分∫x/(x3+x2+1)dx

Question

求积分∫x/(x3+x2+1)dx

Answer 1

思路：这是典型的头轻脚重的积分题,所以我们要不然想办法把他变成头重脚轻,容易消掉的形式,要不然就将他化成几个式子加减的形式.
显然,化成头轻脚重的形式不可行,所以,我们想到化成几个式子相加,我们发现分母可以化成（x+1）乘以（x2-x+1）（这是高中的基本简化式子）,所以,原式变成了x/（x+1）乘以（x2-x+1）,分母为几个式子相乘,自然想到其恒等于（A/x+1）+（（Bx+C）/x2-x+1） （分子比分母小一次方）,计算即可得到A,B,C,也就把原式化成了2个式子相加的形式
原式=1/3 乘以 （（x+1）/（x2-x+1）-1/(x+1)),后者容易积分,而前者,（x+1）/（x2-x+1）,仍然是头重脚轻的形式,而我们发现分母是（x-1/2）2+3/4,所以想到了1+tanα2=secα2,令x=（根号三tanα+1）/2,则这一部分变成了∫（tanα+根号三）dα,就很容易做出来了.
额,我也不知道这个做法是不是很复杂,我只想得出这个做法了,