已知函数f（x）=xlnx与直线y=m交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求m的取值范围；（2）求证：0<x1x2<1e2．

Question

已知函数f（x）=xlnx与直线y=m交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求m的取值范围；
（2）求证：0<x₁x₂<(1)/(e2)．

Answer 1

（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，
令f′（x）>0，解得：x>(1)/(e)，
令f′（x）<0，解得：x<(1)/(e)，
∴f（x）在（0，(1)/(e)）递减，在（(1)/(e)，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（(1)/(e)）=-(1)/(e)，f（1）=0，
x∈（0，(1)/(e)）时，f（x）<0，
画出函数图象，如图示：
∴-(1)/(e)<m<0；
（2）∵x₁lnx₁=x₂lnx₂，设x₁<x₂，
则0<x₁<(1)/(e)，x₂>(1)/(e)，
要证明x₁x₂<(1)/(e2)，只需证明lnx₁+lnx₂<-2，
令H（x）=lnx₁+lnx₂=lnx₁+(x1)/(x2)lnx₁=（1+(x1)/(x2)）lnx₁，
∵x₂>(1)/(e)，∴(x1)/(x2)<ex₁，
∴H（x）<（1+ex₁）lnx₁，
令g（x）=（1+ex）lnx，（0<x<(1)/(e)），
则g′（x）=elnx+e+(1)/(x)，g″（x）=(ex-1)/(x2)，
∵x<(1)/(e)，∴ex-1<0，
∴g″（x）<0，g′（x）是减函数，
又g′（(1)/(e)）=e，∴g′（x）>g′（(1)/(e)），g′（x）>0，
∴g（x）是增函数，又g（(1)/(e)）=-2，
∴g（x）<g（(1)/(e)）=-2，
∴H（x）<-2，
∴0<x₁x₂<(1)/(e2)．