1.已知3x=4y=5z,x≠0,那么2x-3y+6z--------=3x-2y+4z2.在△ABC中,已知∠A+∠C=2∠B,其最长边与最短边是方程3x^2-20x+32=0的两个根,求∠B的值和的△ABC面积

Question

1.已知3x=4y=5z ,x≠0 ,那么
2x-3y+6z
-------- =
3x-2y+4z
2.在△ABC中,已知∠A+∠C=2∠B,其最长边与最短边是方程3x^2-20x+32=0的两个根,求∠B的值和的△ABC面积

Answer 1

第一题
因为3x=4y=5z
由3x=4y,知y=3x/4
由3x=5z,知z=3x/5
所以
(2x-3y 6z )/(3x-2y 4z)
=(2x-9x/4 18x/5 )/(3x-3x/2 12x/5)
=(2-9/4 18/5 )/(3-3/2 12/5)
分子分母同时乘以20
=(40-45 72)/(60-30 48)
=67/78
------------------------------------------
第二题
(1) 因为∠A+∠C=2∠B ,得sin(A+C)=sin(2B)-----------(1)
且∠A+∠C=pi - ∠B ,得sin(A+C)=sin(pi-B)=sin(B)--------(2)
联立（1）（2）式,
sin(2B)=sin(B)
而sin(2B)=2sinBcosB,所以：
2sinBcosB=sin(B)
sinB(2cosB-1)=0
sinB=0 或者2cosB-1=0
B=0（舍） cosB=1/2 --> B=60度
（2）
因为(∠A+∠C)/2=∠B ,说明了∠A和∠C的平均值是∠B
所以,表明∠A和∠C才是最大角与最小角,∠B只是中间大小
因此,由"大角对大边"定理,知a,c才是最长边与最短边
因为a,c是3x^2-20x+32=0的两根,由韦达定理,得
a*c=32/3
再由三角形面积公式,得：
S=1/2 * a*c * sin(B)
= (1/2) *( 32/3) * sin60
=(16/3) * (sqrt(3)/2 )
=(8/3)*sqrt(3)
这里sqrt(3)表示根号3
计算完毕