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高一数学题4.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证（1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)>85.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2≤2麻烦各位了!急啊！要写出步骤的，追加分数哦！
题目详情
高一数学题
4.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证（1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)>8
5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+ 1/2 +根号下b+1/2 ≤2
麻烦各位了!
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4.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求证（1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)>8
5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+ 1/2 +根号下b+1/2 ≤2
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▼优质解答
答案和解析
⑴易得x+y≥2√(xy)
x+z≥2√(xz)
z+y≥2√(zy)
∵x,y,z是互不相等的正数
∴不能取等号
∴（x+y)(x+z)(z+y)>8xyz,
∴（x+y)(x+z)(z+y)/xyz>8
∴[（x+y+z-z)/z][(x+z+y-y)/y][(z+y+x-x)/x]>8
∵x+y+z=1
∴[1/x-1][1/y-1][1/z-1]>8
⑵a>0,b>0
根据不等式公式变形（a+b）/2≤√[（a²+b²）/2]
∴√（a+1/2）+√（b+1/2）≤2*√[（a+b+1）/2]
∵a+b=1
∴√（a+1/2）+√（b+1/2）≤2
当且仅当√（a+1/2）=√（b+1/2）=1
a=b=1/2
x+z≥2√(xz)
z+y≥2√(zy)
∵x,y,z是互不相等的正数
∴不能取等号
∴（x+y)(x+z)(z+y)>8xyz,
∴（x+y)(x+z)(z+y)/xyz>8
∴[（x+y+z-z)/z][(x+z+y-y)/y][(z+y+x-x)/x]>8
∵x+y+z=1
∴[1/x-1][1/y-1][1/z-1]>8
⑵a>0,b>0
根据不等式公式变形（a+b）/2≤√[（a²+b²）/2]
∴√（a+1/2）+√（b+1/2）≤2*√[（a+b+1）/2]
∵a+b=1
∴√（a+1/2）+√（b+1/2）≤2
当且仅当√（a+1/2）=√（b+1/2）=1
a=b=1/2
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