集合M是直角坐标平面内方程2kx+9y-k2=0（k∈R）的直线的集合，集合S是满足以下条件的点的集合：对于S中的每一个点，在集合M中有且仅有一条直线通过该点．（Ⅰ）判断下列各点是否为集合S

Question

集合M是直角坐标平面内方程2kx+9y-k²=0（k∈R）的直线的集合，集合S是满足以下条件的点的集合：对于S中的每一个点，在集合M中有且仅有一条直线通过该点．
（Ⅰ）判断下列各点是否为集合S中的点：A（1，0），B（-3，-1），C（0，-1）；
（Ⅱ）求集合S中的点的轨迹方程；
（Ⅲ）设P，Q是（Ⅱ）是轨迹上的两点，线段PQ的中点到x轴的距离为3，求线段PQ长的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）将x=1，y=0代入直线方程，得k²-2k=0，
由于此方程有两个不同的实数根，对应M中的两条直线，则A（1，0）不是集合S中的点；
将x=-3，y=-1代入直线方程，得k²+6k+9=0，
方程有且只有一个实根，M中一条直线，则B（-3，-1）是S中的点；
将x=0，y=-1代入直线方程，得k²+9=0，方程无实根，则C（0，-1）不是S中的点．
（Ⅱ）任取M（x₀，y₀）∈S，
依题意得，关于实数k的方程2kx₀+9y₀-k²=0有且只有一个实数根，
则方程2kx₀+9y₀-k²=0的判别式△=4x₀²+36y₀=0，
则x₀²=-9y₀，即S中的点的轨迹方程为x²=-9y；
（Ⅲ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
依题意知，直线PQ的斜率存在，设PQ：y=mx+n，
将它代入抛物线方程x²=-9y，得x²+9mx+9n=0，
则x₁+x₂=-9m，x₁x₂=9n，依题意得，△＞0，且(y1+y2)/(2)=(m(x1+x2))/(2)+n，
即有9m²-4n＞0①，9m²=2n+6，②，由②得n≥-3，
②代入①得，n＜3，则-3≤n＜3．
由于|PQ|²=（1+m²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+(2n+6)/(9)）（81×(2n+6)/(9)-36n）=（2n+15）（6-2n）
=-4（n+(9)/(4)）²+(441)/(4)．
又-(9)/(4)∈[-3，3），
则当n=-(9)/(4)时，|PQ|有最大值(21)/(2)．