类比学习：有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，

Question

类比学习：
有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S₁、S₂、S₃，
则S1＝(1)/(2)x(1−y)sin60°，
S2＝(1)/(2)y(1−z)sin60°，
S3＝(1)/(2)z(1−x)sin60°．
由 S₁+S₂+S₃＜S_△ABC，得 (1)/(2)x(1−y)sin60°+(1)/(2)y(1−z)sin60°+(1)/(2)z(1−x)sin60°＜(√(3))/(4)．
所以 x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1．
类比实践：
已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a+x=b+y=c+z=d+t=k．
求证：ay+bz+ct+dx＜2k²．

Answer 1

证明：如图，作边长为k的正方形ABCD．
并分别在各边上截取：
AE=a，DH=b，CG=c，BF=d，
∵a+x=b+y=c+z=d+t=k，
∴BE=x，AH=y，DG=z，CF=t．
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴S₁=(1)/(2)ay，S₂=(1)/(2)dx，S₃=(1)/(2)ct，S₄=(1)/(2)bz．
∵S₁+S₂+S₃+S₄＜S_{正方形ABCD}，
∴(1)/(2)ay+(1)/(2)dx+(1)/(2)ct+(1)/(2)bz＜k²．
∴ay+bz+ct+dx＜2k²．