定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=lg（10x+10y），x，y∈R．当x*x=y时，x=*y．对任意实数a，b，c，给出如下结论：①（a*b）*c=a*（b*c）；②（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；③a*b=b*a；④*a*b

Question

定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R．当x*x=y时，x=*√(y)．对任意实数a，b，c，给出如下结论：
①（a*b）*c=a*（b*c）；  
②（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；
③a*b=b*a；         
④*√(a*b)≥(a+b)/(2)．
其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

①∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg（10a+10b）+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正确；  
②中，左边（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右边（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左边，
故②正确；
③由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故③正确．
④∵当x*x=y时，记x=*√(y)，
又x=*√(a*b)，
∴x*x=lg（2•10^x）=a*b=lg（10^a+10^b），
∴2•10^x=10^a+10^b，
∴x=lg(10a+10b)/(2)≥lg10(a+b)/(2)，
∴(10a+10b)/(2)≥10 (a+b)/(2)成立，即④成立．
故答案为：①②③④．