证明（3x2y+8xy2）dx+（x3+8x2y+12yey）dy为某个函数的全微分，并求它的原函数．

Question

证明（3x²y+8xy²）dx+（x³+8x²y+12ye^y）dy为某个函数的全微分，并求它的原函数．

Answer 1

证明：由题意，设P（x，y）=3x²y+8xy²，Q（x，y）=x³+8x²y+12ye^y，则
(∂Q)/(∂x)=3x2+16xy=(∂P)/(∂y)
∴存在函数u（x，y），使得du=Pdx+Qdy
即Pdx+Qdy是函数u（x，y）的全微分
又由(∂P)/(∂y)=(∂Q)/(∂x)可知，u=

∫	(x，y) (0，0)

Pdx+Qdy，
且积分路径，可选取从（0，0）到（x，0），再到（x，y）
∴u=

∫

x 0

P(x，0)dx+

∫

y 0

Q(x，y)dy
=

∫

y 0

(x3+8x2y+12yey)dy
=x³y+4x²y²+12（y-1）e^y