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若函数f(x)=lnx+ax+1x在[1,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是()A.(-∞,0]∪[14,+∞)B.(-∞,-14]∪[0,+∞)C.[-14,0]D.(-∞,1]
题目详情
若函数f(x)=lnx+ax+
在[1,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是( )1 x
A. (-∞,0]∪[
,+∞)1 4
B. (-∞,-
]∪[0,+∞)1 4
C. [-
,0]1 4
D. (-∞,1]
▼优质解答
答案和解析
由题意得,f′(x)=
+a-
,
因为f(x)=lnx+ax+
在[1,+∞)上是单调函数,
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
①当f′(x)≥0时,则
+a-
≥0在[1,+∞)上恒成立,
即a≥
-
,设g(x)=
-
=(
-
)2-
,
因为x∈[1,+∞),所以
∈(0,1],
当
=1时,g(x)取到最大值是:0,
所以a≥0,
②当f′(x)≤0时,则
+a-
≤0在[1,+∞)上恒成立,
即a≤
-
,设g(x)=
-
=(
-
)2-
,
因为x∈[1,+∞),所以
∈(0,1],
当
=
时,g(x)取到最大值是:-
,
所以a≤-
,
综上可得,a≤-
或a≥0,
所以数a的取值范围是(-∞,-
]∪[0,+∞),
故选:B.
1 |
x |
1 |
x2 |
因为f(x)=lnx+ax+
1 |
x |
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
①当f′(x)≥0时,则
1 |
x |
1 |
x2 |
即a≥
1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
因为x∈[1,+∞),所以
1 |
x |
当
1 |
x |
所以a≥0,
②当f′(x)≤0时,则
1 |
x |
1 |
x2 |
即a≤
1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
因为x∈[1,+∞),所以
1 |
x |
当
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
所以a≤-
1 |
4 |
综上可得,a≤-
1 |
4 |
所以数a的取值范围是(-∞,-
1 |
4 |
故选:B.
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