微分方程求解x[yy''+(y')^2]+3yy'=2x^3

Question

微分方程求解 x[yy''+(y')^2]+3yy'=2x^3

Answer 1

∵x[yy''+(y')^2]+3yy'=2x^3
==>xd(yy')/dx+3yy'=2x^3
==>d(xyy')=2x^3dx
==>∫d(xyy')=2∫x^3dx
==>xyy'=x^4/2+C1/2 (C1是常数)
==>yy'=x^3/2+C1/(2x)
==>ydy/dx=x^3/2+C1/(2x)
==>ydy=(x^3/2+C1/(2x))dx
==>∫ydy=∫(x^3/2+C1/(2x))dx
==>y^2/2=x^4/8+(C1/2)ln│x│+C2/2 (C2是常数)
==>y^2=x^4/4+C1ln│x│+C2
∴此方程的通解是y^2=x^4/4+C1ln│x│+C2。