函数极限x趋近正无穷时,求lim〔sin√(x+1)-sin√x〕,但是我不知道在怎么来的.

Question

函数极限
x趋近正无穷时,求lim〔sin√(x+1)-sin√x〕 ,但是我不知道在怎么来的.

Answer 1

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楼上的表述有点“想当然”,不太像严谨的数学语言啊.
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lim〔sin√(x+1)-sin√x〕
先用和差化积公式
=lim 2 * cos[(√(x+1)+√x)/2] * sin[(√(x+1)-√x)/2]
于是变成3个因子的乘积,第一个因子是常数,第二项是“有界”量,因为第二个因子始终在－1到1之间,我们只要证明最后一个因子是无穷小量就行了.
对于lim sin[(√(x+1)-√x)/2]:
分子有理化：
=lim sin{1/[2(√(x+1)+√x)]}
=0
所以整个式子是“有界×无穷小”,极限当然是0