.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,π/3＜C＞π/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)（1）判断△ABC的形状（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA乘向量BC的取值范围

Question

.在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c,为三条边,π/3＜C＞π/2,且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)
（1）判断△ABC的形状（2）若｜向量BA+向量BC｜=2,求向量BA 乘 向量BC的取值范围

Answer 1

（1）由已知得：（a-b）/b=（sinA-sin2C)/sin2C
所以：a/b -1=sinA/sin2C -1 即为：a/b = sinA/sin2C
由正弦定理：sinA/sinB = sinA/sin2C 所以：sinB = sin2C
所以：B=2C 或 B+2C = π
又已知：π/3 ＜C ＜π/2 所以：2π/3 ＜2C ＜π
若B=2C,则有 B+C=3C ＞π 不可能
所以必须：B+2C = π ,即：B+C+C = π 然而：B+C+A = π
所以C=A,△ABC是等腰三角形.
（2）"｜向量BA+向量BC｜=2 " 简写为：｜c+a｜=2 , " 向量BA 乘 向量BC "简写为：ca
｜c+a｜^2 =(c+a)^2 =c^2+2ca+a^2 =|c|^2+2|c||a|cosB+|a|^2 =4
因为C=A 所以 ｜c｜=｜a｜代入上式得：|a|^2（1+cosB）=2 即为：|a|^2= 2/（1+cosB）
ca= |a|^2（cosB）=2cosB /（1+cosB）= 2/（1+1/cosB）
由（1）得B+2C = π 且 2π/3 ＜2C ＜π 所以：0 ＜B ＜π/3 所以： 1/2＜cosB ＜1
1＜1/cosB ＜2 ,2＜1+1/cosB＜3 , 2/3 ＜ 2/（1+1/cosB）＜1
所以： 向量BA 乘 向量BC的取值范围是：（ 2/3 ,1）