将f（x）=12，0≤x＜π20，π2≤x＜π在[0，π]上展开成正弦级数，并在[0，π]上写出它的和函数．

Question

将f（x）=

(1)/(2) ，  0≤x＜(π)/(2)

0 ，   (π)/(2)≤x＜π

在[0，π]上展开成正弦级数，并在[0，π]上写出它的和函数．

Answer 1

因为要将f（x）在[0，π]上展开成正弦级数，
故a_n=0，n=0，1，2，…．
又因为bn＝(2)/(π)

∫

(π)/(2) 0

f(x)sinnxdx，所以，
bn＝(1)/(π)

∫	(π)/(2)  0

sinnxdx＝(1)/(nπ)(1−cos(nπ)/(2))，n=1，2，…．
因此，
f（x）～S（x）=(1)/(π)

∞

n＝1

(1)/(n)(1−cos(nπ)/(2))sinnx＝

f(x) ， x∈(0，(π)/(2))∪((π)/(2)，π]

(1)/(4) ，x＝(π)/(2)

0 ，x＝0

．