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经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv3t,其中v为鲑鱼在静水中的速度,t为行进的时间(单位:h),k为大于零的常数.如果水流的速度为3km/h,鲑鱼在河中逆流行
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经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E=kv3t,其中v为鲑鱼在静水中的速度,t为行进的时间(单位:h),k为大于零的常数.如果水流的速度为3km/h,鲑鱼在河中逆流行进100km.
(1)将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数;
(2)v为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?
(1)将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数;
(2)v为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?
▼优质解答
答案和解析
(1)鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t=
. …(2分)
所以E=kv3t=kv3
=
(v∈(3,+∞)). …(6分)
(2)∵E=
∴E′=100k
=100k
. …(10分)
令E′=0,解得v=4.5或v=0(舍去).
因为k>0,v>3,所以当v∈(3,4.5)时,E′<0,
当v∈(4.5,+∞)时,E′>0.
故E=
在(3,4.5)上单调递减,在(4.5,+∞)上单调递增.…(13分)
所以,当v=4.5时,E取得极小值也是最小值.
即v=4.5km/h时,鲑鱼消耗的能量最小. …(14分)
100 |
v−3 |
所以E=kv3t=kv3
100 |
v−3 |
100kv3 |
v−3 |
(2)∵E=
100kv3 |
v−3 |
∴E′=100k
3v2(v−3)−v3 |
(v−3)2 |
2v2(v−4.5) |
(v−3)2 |
令E′=0,解得v=4.5或v=0(舍去).
因为k>0,v>3,所以当v∈(3,4.5)时,E′<0,
当v∈(4.5,+∞)时,E′>0.
故E=
100kv3 |
v−3 |
所以,当v=4.5时,E取得极小值也是最小值.
即v=4.5km/h时,鲑鱼消耗的能量最小. …(14分)
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