无穷大的变化磁场的感生电场有一个无穷广阔的匀强磁场,变化率为dB/dt.求各处感应电场的大小及方向.

Question

无穷大的变化磁场的感生电场
有一个无穷广阔的匀强磁场,变化率为dB/dt.求各处感应电场的大小及方向.

Answer 1

物理是无法真正处理无穷大的,真正的无穷大一定会导致荒谬的结果,也一定意味着我们在哪里犯了错；我们在某些理想化的模型里说到的无穷大不过是说很大而已,不可能是真正的无穷大.
麦克斯韦方程组给出了各场点附近的磁场对时间的变化率与电场的旋度的关系,对于有限的区域,还必须知道初始条件和边界条件之后,该区域内的电磁场分布才能确定.对于你说的“无穷广阔的匀强磁场”,这意味着不可能获得边界条件,于是,其中的电磁场的分布就不能确定,而这其实正意味着“无穷广阔的匀强磁场”是不可能真正存在的.
有道例题,是一个半无穷大的变化的磁场,问一半在其中、另一半在外面的正方形线框平行于磁场边界的两边上的感应电动势.按下段方法的计算可知：半无穷大的变化的磁场在线框的两边中产生的都是无穷大的感应电场（这在实际中当然不可能）,但它们的差值却是有限的.这就是说,只要选择的区域有限就会得出有意义的结果,不论它身处无穷大的磁场中还是有限的磁场中；但无穷大的磁场本身却会引出无穷大电场的荒谬结论.
上段例题的具体算法：
可以先设想一个有限的半径为R的圆形区域内的磁场,把方形线框也变形为弯曲的形状——上下两边沿磁场圆的夹角为a的两条半径的方向,左右两边分别沿半径为(R-L/2)与(R+L/2)的两个圆的圆弧方向.如此计算出各边上的感应电动势,最后再让R趋于无穷大,可以发现左右两边各自的感应电动势都趋于无穷,但它们的差值却是有限的.
设左右两边上的蜗旋电场和感应电动势分别为e、e'、E、E',
e*2π(R-L/2)=(dB/dt)S=k*π(R-L/2)^2,e'*2π(R+L/2)=(dB/dt)S'=k*πR^2,所以,e=(k/2)(R-L/2),e'=(k/2)RR/(R+L/2).
若R>>L,上下两边所在半径的夹角a=L/R.
E=e*a(R-L/2)=eL(R-L/2)/R=(Lk/2)(R-L/2)^2/R,E'=e'*a(R+L/2)=e'L(R+L/2)/R=(Lk/2)R.
整个线圈上的感应电动势U'=E'-E=(Lk/2)[RR-(R-L/2)^2]/R=(Lk/2)(RL-LL/4)/R=(kLL/2)(1-L/4R).
E、F两点间的电压U=E'-2r(U'/4r)=E'-U'/2.
若R→∞,则弯曲线框变回正方形,磁场区域变成半无穷大,同时,E'=(Lk/2)R→∞,U'=(kLL/2)(1-L/4R)→kLL/2,U=E'-U'/2→∞.