把1～1993这1993个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始沿顺时针方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4；……（每隔一个数,擦去一个数）,转圈擦下去.求最后剩的是哪个数?

Question

把1～1993这1993个自然数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上,从1开始沿顺时针方向,保留1,擦去2；保留3,擦去4；……（每隔一个数,擦去一个数）,转圈擦下去.求最后剩的是哪个数?

Answer 1

分析：如果依照题意进行操作,直到剩下一个数为止,实在是很困难.我们先从简单情况研究,归纳出解决问题的规律,再应用规律解题.
如果是2个数1、2,最后剩下1；如果是3个数1、2、3,最后剩3；如果是4个数1、2、3、4,最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5,最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6,最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7,最后剩的是7；如果是8个数1～8,最后剩的是1.
我们发现当数的个数是2,4,8时,最后剩的都是1（操作的起始数）.这是为什么呢?以8个数为例,数一圈,擦掉2,4,6,8,就相当于从1开始,还有4个数的情况,4个数时,从1开始,数一圈,又擦掉2个,还剩从1开始的两个数,擦掉1以外的数,最后剩1.
这样,数的个数是16,32,64,……,2n时,最后剩的都是起始数1.
当数的个数是3时,擦去2,就剩2个数,最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时,擦去2,剩4个数,最后也应剩下一步的起始数3.
根据以上规律,如果有18个数,擦去2、4,剩下16个数,再擦下去,最后还应剩下一步的起始数5.就是说,擦去若干个数后,当剩的数的个数是2”时,下一步起始数就是最后剩下的数.
因为1024=210,2048=211,
2110＜1993＜211,
1993-1024=969,
就是说,要剩210个数,需要擦去969个数,按题意,每两个数擦去一个数,当擦第969个数时,最后擦的是：
969×2=1938
下一个起始数是1939,那么最后剩的就应该是1939.