等差数列问题1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/anan-1说明：这里的n、n-1是下标=(n-1)/a1an,求证{an}是等差数列.

Question

等差数列问题
1/a1a2+1/a2a3+1/a3a4+...+1/anan-1【说明：这里的n、n-1是下标】=(n-1)/a1an,求证{an}是等差数列.

Answer 1

上面的证明都有问题,没说是等差数列,哪来的公差啊.
证明：
用数学归纳法.
当n=2时
1/a1a2=(2-1)/a1a2,恒成立.
当n=3时
1/a1a2+1/a2a3=(3-1)/a1a3
a3/(a1a2a3)+a1/(a1a2a3)=2a2/(a1a3)
a3+a1=2a2
a2-a1=a3-a2
令差为d,则
a2-a1=a3-a2
数列为等差数列.
假设当n=k(k>=3)时,{ak}为等差数列,公差为d,则ak=a1+(k-1)d.当n=k+1时,
1/a1a2+1/a2a3+...+1/akak-1+1/ak+1ak
=(k-1)/a1ak+1/ak+1ak
=[ak+1(k-1)+a1]/a1akak+1
=(k+1-1)/a1ak+1
整理,得
kak=kak+1-ak+1+a1
ak=a1+(k-1)d代入,整理,得
(k-1)a1+k(k-1)d=(k-1)ak+1
同除以k-1
ak+1=a1+kd
ak+1-ak=a1+kd-a1-(k-1)d=d
ak+1同样满足等差数列的要求.
综上,{an}为等差数列.