求教一个微积分建模问题一物体加速度a与路程s的平方成反比,a=22.5/s^2,物体初始速度为0,加速度为22.5m/s,s=1,问物体何时能加速至3*10^6m/s,所需时间多少,经过路程多少?

Question

求教一个微积分建模问题
一物体加速度a与路程s的平方成反比,a=22.5/s^2,物体初始速度为0,加速度为22.5m/s,s=1,问物体何时能加速至3*10^6m/s,所需时间多少,经过路程多少?

Answer 1

根据题意,a ＝K / s^2 (K＝22.5)
===> s" ＝ K / s^2
===> [ ( s' ) ^2 ] ' ＝ 2s' * s'' ＝ 2K s' / s^2
===> ( s' ) ^2 ＝ ∫ ( 2K / s^2 ) ds
===> ( s' ) ^2 ＝ －2K / s + C
由于初始时v＝s'＝0,s＝0,===> C＝2K
===> s' ＝ √ ( 2K －2K / s ) （1）
===> ds / √ ( 2K －2K / s ) ＝ dt
===> ∫ ds / √ ( 2K －2K / s ) ＝ ∫ dt
===> ∫ ds / √ ( 2K －2K / s ) ＝ ∫ dt
===> √ (2K) * [ s √(s-1) + ln( s + √(s-1) ) ] / 2 ＝ t + C （2）
===> 理论上可解出s(t)
===> v(t)＝s'(t) )
当s' ＝ 3*10^6时,由（1）式求得s,
再代入（2）式求得t.
注：给的模型可能并不太合理,自己算算吧.