计算二重积分∫∫D|x2+y2-1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}．

Question

计算二重积分

∫∫

D

|x²+y²-1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}．

Answer 1

记D1＝(x，y)|x2+y2≤1，(x，y)∈D
D2＝(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D
∴

∬

D

|x2+y2−1|dσ=−

∬

D1

(x2+y2−1)dxdy+

∬

D2

(x2+y2−1)dxdy
=−

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

1 0

(r2−1)rdr+

∬

D

(x2+y2−1)dxdy−

∬

D1

(x2+y2−1)dxdy
=(π)/(8)+

∫

1 0

dx

∫

1 0

(x2+y2−1)dy−

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

1 0

(r2−1)rdr
=(π)/(4)−(1)/(3)