为了做好“双11”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再

Question

为了做好“双11”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的礼品袋S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示），设AE=BE′=x（cm）．

（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；
（2）若电商要求礼品袋的侧面积不少于128cm²，试求x的取值范围；
（3）当x=5时，该电商打算将礼品袋S-EFGH全部放入一个球形状的包装盒内密封，求包装盒的内径R的最小值．

Answer 1

证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH⊂平面SFH，SO∩FH=O，
∴EG⊥平面SFH，
又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）∵AE=BE′=x（cm）．
∴EE'=20-2x，有EE'>0得0则△SEE'的高为20，
则礼品袋的侧面积S=20×20-4（S_△EAH'+S_△SEE'）
=400-4[（(1)/(2)x²+(1)/(2)（20-2x）×10]=400-（2x²+400-40x）=-2x²+40x，
由S=-2x²+40x≥128得x²-20x+64≤0，得4≤x≤16，
∵0<x<10，∴4≤x<10．
（3）当x=5时，OE=OF=AE=5，则EF=5√(2)，包装盒的内径最小值，
即为正四棱锥S-EFGH的外接球的半径R，
设正四棱锥的外接球的球心为O'，
则O'在正四棱锥S-EFGH的高SO上，连接EO'，
则Rt△SEO中，SO=10，
∴O'E=R，O'O=10-R，
Rt△EOO'中，OE²+O'O²=O'E²，
∴5²+（10-R）²=R²，
即25+100-20R=0，得R=(125)/(20)=(25)/(4)=6.25，
即包装盒的内径R的最小值是6.25．