一道国家队集训题设m个不全相等的正数a1,a2,a3,……,am（m≥7）依次围成一个圆圈（Ⅰ）若m=2009,且a1,a2,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,a2008,……a1006是公比为q=d的等比数列；数列前n项和Sn（

Question

一道国家队集训题
设m个不全相等的正数a1,a2,a3,……,am（m≥7）依次围成一个圆圈
（Ⅰ）若m=2009,且a1,a2,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,
a2008,……a1006是公比为q=d的等比数列；数列前n项和Sn（n≤m）满足：
S3=15,S2009=S2007+12a1,求通项an（n≤m）
（Ⅱ）若每个数an（n≤m）使其左右相邻两数平方的等比中项,求证：
a1+a2+……+a6+a7²+a8²+……+am²＞m×a1×a2×……am

Answer 1

（Ⅰ）前1005的通项公式为an=a1+(n-1)d
前1005项的和为Sn=n[2a1+(n-1)d]/2——①
S3=15,则3(2a1+2d)/2=15
a1006=a1·d^1004
后1004项的通项公式为an=a1006·d^(1006-n)=a1·d^(2010-n)
S2009=S2007+12a1
则a2008+a2009=a1/d+a1/d^2=12a1,得：1/d+1/d^2=12——②
①②式联立解得a1=7/3,d=1/3（所有数均为正数,d＞0）
an=2+n/3（n≤1005）
an=7·3^(n-2011)
（Ⅱ）