跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，身体笔直且与水面垂直．假设运动员的质量m=50kg，其体型可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力．运动员落水后，水的等

Question

跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，身体笔直且与水面垂直．假设运动员的质量m=50kg，其体型可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力．运动员落水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随落水深度Y变化的函数曲线如图所示． 该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和Of重合．运动员入水后受到的浮力F=ρgV （V是排开水的体积）是随着入水深度线性增加的．已知椭圆的面积公式是S=πab，水的密度ρ=1.0×10 ³ kg/m ³ ，g取10m/s ² ．
试求：
（1）运动员刚入水时的速度；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功；
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于多少？

Answer 1

（1）运动员刚入水时的速度为：
  v=

2gH

=

2×10×10

=10

2

m/s
（2）浮力做功分为两个阶段，运动员进入水面为第一阶段，水的浮力线性增加，其做功为：
  W F 1 =-(0+ρgV)/(2) L = -(1)/(8) πρ d 2 L 2 g
代入解得  W _F1 =-353.25 J      
（3）设水深为h，第二阶段浮力是恒力，其所做的功 W F 2 =-ρ(1)/(4) π d 2 Lg(h-L)
水的阻力做功为图中曲线与横轴所围的面积： W f =-(1)/(4) π(5)/(2) mgh = -(5)/(8) πmgh
运动员的始、末状态的速度均为零，对整个过程应用动能定理：
  W _G +W _F1 +W _F2 +W _f =0 
又 W _G =mg（H+h）
联立得 mg(H+h)-(1)/(8) πρ L 2 d 2 g-(1)/(4) πρL d 2 g(h-L)-(5)/(8) πmgh =0，
代入数据解得至少水深为  h=4.51m             
答：
（1）运动员刚入水时的速度为10

2

m；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功为-353.25 J
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于4.51m．