（2013•迎江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足，（1）求证：△ACG∽△DBE；（2）CD=BD，BC=2AC时，求DEAD．

Question

（2013•迎江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足，
（1）求证：△ACG∽△DBE；
（2）CD=BD，BC=2AC时，求(DE)/(AD)．

Answer 1

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∠ADC+∠BDE=90°，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，
∴△ACG∽△DBE；

（2）过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠ACB=90°，
∴EH∥AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴EH：AC=BH：BC=DE：AD，
∴AC：BC=EH：BH，
∵CD=BD，BC=2AC，BC=CD+BD，
∴AC=CD=BD，
∴∠ADC=45°，
∵AD⊥DE，
∴∠EDH=45°，
∴DH=EH，
∴EH：BH=AC：BC=1：2，
∴EH=DH=(1)/(2)BH，
∴BH：BC=(2)/(6)=(1)/(3)，
即EH：AC=1：3，
∴(DE)/(AD)=(1)/(3)．