已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝3(n+1)(an+2)(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，a₁=1，且a₂，a₃+1，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn＝(3)/((n+1)(an+2))(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂，a₃+1，a₆成等比数列．
∴(a3+1)2＝a2a6，
即（2d+2）²=（1+d）（1+5d），
解得d=3或d=-1．
由已知数列{a_n}各项均为正数，
∴d=3，
故a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵bn＝(3)/((n+1)(an+2))＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)，
∴Sn＝(1)/(1)−(1)/(2)+(1)/(2)−(1)/(3)+…+(1)/(n−1)−(1)/(n)+(1)/(n)−(1)/(n+1)．
∴S_n=1-(1)/(n+1)=(n)/(n+1)．