已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=2n+1+λ（λ∈R）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=1(2n+1)log4(anan+1)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=2ⁿ⁺¹+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=(1)/((2n+1)log4(anan+1))，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，当n=1时，2S₁=2a₁=4+λ，
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1；
因为数列{a_n}为等比数列，故a₁=1，故(4+λ)/(2)=1，解得λ=-2，
故数列{a_n}的通项公式为an=2n-1(n∈N*)．
（Ⅱ）依题意，log4(an

a

n+1

)=log4(2n-1•2n)=(1)/(2)(2n-1)，
故bn=(1)/((2n+1)log4(anan+1))=(2)/((2n+1)(2n-1))=(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)，
故数列{b_n}的前n项和Tn=1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)=(2n)/(2n+1)．