已知：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，点P是AD边上一个动点，PE⊥PC，PE交AB于点E，对应点E也随之在AB上运动，连接EC．（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的长；（2）当∠PEC=30°时，求AP的长．

Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，点P是AD边上一个动点，PE⊥PC，PE交AB于点E，对应点E也随之在AB上运动，连接EC．

（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的长；
（2）当∠PEC=30°时，求AP的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴(PE)/(CP)＝(AP)/(DC)，（2分）
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）
（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵(PE)/(CP)＝(AP)/(DC)，
∴(PE)/(CP)＝(7−x)/(4)，（4分）
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴(CP)/(PE)＝tan30°＝(√(3))/(3)，
∴(PE)/(CP)＝√(3)，
∴(7−x)/(4)＝√(3)，
∴x＝7−4√(3)，
∴AP＝4√(3)．（5分）