离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两

Question

离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度v从右侧喷出．Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线(R)/(2)处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示（从左向右看）．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角（0<α≤90°）．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v₀，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e．（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）

（1）求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
（2）α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；
（3）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v_max与α角的关系．

Answer 1

（1）由动能定理：(1)/(2)Mv2=eU
得：U=(Mv2)/(2e)
a=(eE)/(M)=(eU)/(ML)=(v2)/(2L)
（2）设电子运动的最大半径为r

     2r=(3)/(2)R．
    eBv=m(v2)/(r)
所以有v₀≤v<(3eBR)/(4m)
要使上式有解，磁感应强度B>(4mv0)/(3eR)
（3）如右图所示，OA=R-r，OC=(R)/(2)，AC=r

根据几何关系((R)/(2))2+r²-2•(R)/(2)•rcos(90°-α)=（R-r）²；
得r=(3R)/(4(2-sinα))
由eBv=m(v2)/(r)和上式得：v_max=(3eBR)/(4m(2-sinα))
答：
（1）Ⅱ区的加速电压为(Mv2)/(2e)及离子的加速度为(v2)/(2L)
（2）α为90°时，要取得好的电离效果，射出的电子速率v的范围v₀≤v<(3eBR)/(4m)
（3）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v_max与α角的关系为v_max=(3eBR)/(4m(2-sinα))