一个量子力学的基本问题我有点想不明白.如下：一个自由粒子在一个长方体区域内运动,我们到底是认为粒子处于三维无限深势阱中,这样可以很容易得到能量本征函数和能级,即能量本征函数

Question

一个量子力学的基本问题我有点想不明白.如下：
一个自由粒子在一个长方体区域内运动,我们到底是认为粒子处于三维无限深势阱中,这样可以很容易得到能量本征函数和能级,即能量本征函数为三个方向上的一维无限深势的本征函数之乘积,能级为三个维无限深势的能级之和（分离变量法很容易求出,这种方法一定没问题啊）.
那么如果我们考虑动量本征函数的箱归一化,不也满足粒子封闭与箱中的模型吗?（而且这粒子是自由粒子,在箱子范围内的哈密顿量与动量算符是对易的,那么动量与能量有共同的本征函数）,利用周期性边界条件都到分立的动量值,在利用E=p^2\2m,得到能级表达式.
然而这两种方法得到的能级结果不同,（估算一下好像是差了4倍）,这是为什么呢?不论用什么方法,能级的表达式应该是一样的啊?到底哪个正确?
我一步小心写的过于详细了,这个问题大家肯定不用看我的步骤就明白,那么请哪位回答一下到底为什么两者的结果会不同呢?
qhyka你说的有些道理,可是不是明确的回答.我仔细想想似乎有点明白了.动量本征函数是exp(ipx/h)的形式,是不能取值为零的,所以引入周期性边条件.如果我们考虑一维情况可以看得很清楚,一维无限深势阱能级不简并,但是动量本征函数对应的能级为2重简并（-p与+p两个本征值）.如果采用周期便条件得到exp(ipa/h)=1后,取pa/h=npi,而不取pa/h=2npi,那么就能得到与一维无限深势相同的能级了.为什么我们取pa/h=npi呢?因为能量本征函数是sin(n pi x/a),可以按动量本征函数展开,是两个简并的动量本征函数（+p,-p）的叠加,因此若取条件pa/h=npi,就相当于把两个简并态一并考虑了.所以问题的本质在于,采用一维无限深势阱,直接是用哈密顿量接薛定谔方程,起本征值是能量,能量不含正负,所以一维问题（束缚态）没有简并.但是用动量算符接对应的本征方程,其本征值是动量,有正负之分,所以产生了2重简并.
正确的结果还是无限深势阱得能级.这些是我的想法,不知道是否正确,还待大家一起讨论.

Answer 1

你好
在箱中以位置为自变量的波函数可以进行箱归一化,因为粒子只能在箱内运动,不能运动出箱子.
但是以动量为自变数的波函数由于你不知道它可以取到最大的动量是多少,因此不能进行箱归一化.
箱子的存在限制了粒子的位置,但没有限制粒子的动量.