哪位仁兄把三元一次方程的通解公式给一下,在下感激不尽.

Question

哪位仁兄把三元一次方程的通解公式给一下,在下感激不尽.

Answer 1

将最高项系数化为1后为：x^3+ax^2+bx+c=0
令x=y-a/3,方程化为：y^3+py+q=0
P=b-a^2/3,q=c-ab/3+2a^3/27
令y=u+v代入,得：u^3+v^3+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0
u^3+v^3+q+(u+v)(3uv+p)=0
如果令：u^3+v^3+q=0,3uv+p=0,并求出u,v则可得y=u+v为解.
u^3+v^3=-q
uv=-p/3,u^3v^3=(-p/3)^3=-p^3/27
u^3,v^3为二次方程:z^2+qz-p^3/27=0的解.
得u^3,v^3 =z=(-q±√D)/2,其中 D=q^2+4p^3/27
所以u,v为：z1,z2= 3√z.
令 ω=(-1+i√3)/2,得y的三个解为：
y1=z1+z2
y2=ωz1+ω2z2
y3=ω2z1+ωz2
从而得：
x1=y1-a/3
x2=y2-a/3
x3=y3-a/3