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如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上任意一点(与A、C两点不重合).Q是CB延长线上一点,且始终满足条件BQ=AP,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.(1)如图(1),当∠CQP=30°时.求AP
题目详情
如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上任意一点(与A、C两点不重合).Q是CB延长线上一点,且始终满足条件BQ=AP,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)如图(1),当∠CQP=30°时.求AP的长.
(2)如图(2),当P在任意位置时,求证:DE=
AB.
(1)如图(1),当∠CQP=30°时.求AP的长.
(2)如图(2),当P在任意位置时,求证:DE=
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图(1),作PF∥BC交AB于点F,
∴∠AFP=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AEF=60°,∠APF=60°,
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等边三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF.
∵∠CQP=30°,∠C=60°,
∴∠QPC=90°,
∴∠DPA=90°,
∴∠ADP=30°.
∴AD=2AP.
∴AD=2AF.
∵DF+AF=AD,
∴DF+AF=2AF,
∴DF=AF,
∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中
,
∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD.
∴BD=DF=AF=
AB.
∵AB=6,
∴AF=2,
∴AP=2.
答:AP的长为2;
(2)如图2,作PF∥BC交AB于点.
∴∠AFP=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AFP=60°,∠APF=60°,
∴∠AFP=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等边三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF=
AF.
∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中
,
∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD=
BF.
∵ED=EF+DF=
AF+
BF,
∴ED=
(AF+BF),
∴ED=
AB.
∴∠AFP=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AEF=60°,∠APF=60°,
∴∠AEF=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等边三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF.
∵∠CQP=30°,∠C=60°,
∴∠QPC=90°,
∴∠DPA=90°,
∴∠ADP=30°.
∴AD=2AP.
∴AD=2AF.
∵DF+AF=AD,
∴DF+AF=2AF,
∴DF=AF,
∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中
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∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD.
∴BD=DF=AF=
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∵AB=6,
∴AF=2,
∴AP=2.
答:AP的长为2;
(2)如图2,作PF∥BC交AB于点.
∴∠AFP=∠ABC,∠APF=∠C.∠PFD=∠QBD,∠FPD=∠BQD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠C=60°.AB=BC=AC.
∴∠AFP=60°,∠APF=60°,
∴∠AFP=∠APF=∠C=60°,
∴△AFP是等边三角形,
∴AF=AP=PF.
∵PE⊥AB,
∴AE=EF=
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∵BQ=AP,
∴BQ=FP.
在△PFD和△QBD中
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∴△PFD≌△QBD(ASA),
∴FD=BD=
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∵ED=EF+DF=
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∴ED=
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