电哥您好,高等代数SOS!我们说多项式可约不可约应该是相对的呀,要看系数域的,比如我可以说所有的多项式都是可约的,因为如果复根也算根的话,f(x)=0必有根a,所以x-a|f(x),而多项式必有根,遇到

Question

电哥您好,高等代数SOS!
我们说多项式可约不可约应该是相对的呀,要看系数域的,比如我可以说所有的多项式都是可约的,因为如果复根也算根的话,f(x)=0必有根a,所以x-a|f(x),而多项式必有根,
遇到一题：求f(x)=x∧4-4x∧3+1与g(x)=x∧3-3x∧2+1的最大公因式,我用辗转相除得出他俩互素,因为他俩不可约,所以互素.
我越想越纳闷：可约与否不是要看系数域的么?而答案说他俩不可约就代替繁琐的辗转相除解决了此题,那么他说他不可约是参照什么系数域的呢（根据我前面说的,他一定可约）,只能参照他那一个吗,有个定理可以由两个多项式不可约推出他俩互素,我现在看看,不是有毛病的吗,换一个系数域,他俩完全可约呀,为什么互素呢（尽管已知答案互素）?那岂不要找遍所有的系数域后才能说是否互素呢,郁闷到家了

Answer 1

命题:如果f(x),g(x)都是F-系数多项式,且f(x),g(x)在F上不可约,
那么成立(f(x),g(x)) = 1或f(x) = cg(x).
也就是说如果你找到一个包含f(x),g(x)系数的域F,使f(x),g(x)在其中不可约,
就能得到命题的结论.
虽然你可以选取更大的域K,使f(x),g(x)在其中变成可约的,
但这只是使得命题的条件不再满足了而已,并不是说命题的结论会随之变得不成立.
毕竟上述命题的逆命题并不成立.