求下列积分∫(cosx)^2/e^xdx用分部积分方法

Question

求下列积分∫(cosx)^2/e^x dx 用分部积分方法

Answer 1

∵∫sin(2x)e^(-x)dx=-sin(2x)e^(-x)+2∫cos(2x)e^(-x)dx (应用分部积分法)
==>∫sin(2x)e^(-x)dx=-sin(2x)e^(-x)-2cos(2x)e^(-x)-4∫sin(2x)e^(-x)dx (应用分部积分法)
==>5∫sin(2x)e^(-x)dx=-sin(2x)e^(-x)-2cos(2x)e^(-x)
∴∫sin(2x)e^(-x)dx=-(sin(2x)+2cos(2x))e^(-x)/5-C （C是常数）
故∫(cos²x*e^(-x))dx=-cos²x*e^(-x)-∫sin(2x)e^(-x)dx (应用分部积分法)
=-cos²x*e^(-x)+(sin(2x)+2cos(2x))e^(-x)/5+C.