求不定积分∫dx/(ax^2+b)^n,好像用分部积分法,我不会没分了,

Question

求不定积分∫dx/(ax^2+b)^n,好像用分部积分法,我不会没分了,

Answer 1

求不定积分∫dx/(ax²+b)^n
原式=(1/b^n)∫dx/[(a/b)x²+1]=(1/b^n)∫dx/{[√(a/b)x]²+1]ⁿ}
令[√(a/b)]x=tanu,则dx=sec²udu/√(a/b)=[√(b/a)]sec²udu,代入原式得：
原式=[√(b/a)/bⁿ]∫sec²udu/(tan²u+1)ⁿ=[√(b/a)/bⁿ]∫sec²udu/(sec²ⁿu)
=[√(b/a)/bⁿ]∫cos²ⁿֿ²udu=[√(b/a)/bⁿ]∫cos²ⁿֿ³udsinu
=[√(b/a)/bⁿ]{[cos²ⁿֿ³sinu]/(2n-2)-[(2n-3)/(2n-2)]∫cos²ⁿֿ⁴udu}
这是一个递推公式,因为n不定,故不可能有最后结果.