函数f(x)在区间[a,b]上的定积分是否可以看作曲线积分?曲面积分的值与哪些因素有关?第型曲面积分计算有几种方法?试写出公式.第2型曲面积分化为二重积分计算时要注意什么?

Question

函数f(x) 在区间[a,b] 上的定积分是否可以看作曲线积分?
曲面积分的值与哪些因素有关?第型曲面积分计算有几种方法?试写出公式.第2 型曲面积分化为二重积分计算时要注意什么?

Answer 1

这题很有爱哟.
就几何意义来说的话,定积分可以看作是第一类曲线弧长积分的特例.
定积分只能求得在二维上直线围起的平面的面积,仅限于平面的,与z轴垂直
但是扩增到三维上的话,用弧长积分求出的面积可以是弯曲的,当然也可以是平面(所以说定积分是弧长积分的特例),看以下例子：
求由x = 0、x = 3和y = x^2围起的平面面积S?
定积分：S = ∫(0,3) x^2 dx = (1/3)[(x^3)：(0,3)] = (1/3) * 27 = 9
弧长积分：以直线L：y = 0为底长,高为y = x^2的面积,ds = √[1 + (dy/dx)^2] dx = dx
S = ∫L x^2 ds = ∫(0,3) x^2 dx = (1/3)[(x^3)：(0,3)] = 9
曲面积分是建基于曲面方程：
所以两类的曲面积分都与曲面方程有关
唯一不同的就是曲面方程可以直接代入被积函数中,这是重积分所不能够的.
而面积的微元dS,化为二重积分时,其值：
在yoz面上,dS = √[1 + (x'y)^2 + (x'z)^2] dydz
在zox面上,dS = √[1 + (y'z)^2 + (y'x)^2] dzdx
在xoy面上,dS = √[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2] dxdy
例如对于曲面方程Σ：z = z(x,y)
∫∫Σ f(x,y,z) dS = ∫∫D f[x,y,z(x,y)] √[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2] dxdy
第二类曲面积分还要注意曲面的方向,有正有负
第二类曲面坐标积分化为二重积分时只需向对应的坐标轴平面投影
dydz向yoz面投影,前侧取正号,后侧取负号,把相应的曲面方程x = x(y,z)代入x中
∫∫Σ f(x,y,z) dydz = ± ∫∫D f[x(y,z),y,z] dydz
dzdx向zox面投影,右侧取正号,左侧取负号,把相应的曲面方程y = y(x,z)代入y中
∫∫Σ f(x,y,z) dzdx = ± ∫∫D f[x,y(x,z),z] dzdx
dxdy向xoy面投影,上侧取正号,下侧取负号,把相应的曲面方程z = z(x,y)代入z中
∫∫Σ f(x,y,z) dxdy = ± ∫∫D f[x,y,z(x,y)] dxdy
于是化为二重积分后,对曲面方程Σ的曲面积分便会变为对平面D上的二重积分.
通常第二类曲面积分比第一类曲面积分容易求得,尤其是只须向一个面投影的时候.
第二类曲面积分有许多种算法：
首先是两类积分之间的转换：
∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫Σ (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) dS
其中cosα、cosβ、cosγ分别是三个坐标面的方向余弦.这方法的难度颇大哟
cosα = 1/√[1 + (x'y)^2 + (x'z)^2],cosβ = 1/√[1 + (y'z)^2 + (y'x)^2],cosγ = 1/√[1 + (z'x)^2 + (z'y)^2]
之后就是针对第二类曲面积分的高斯公式：若Σ是立体的边界曲面所围成的闭合曲面,取外侧
∮∮Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dxdydz,跟格林公式的原理一样.
在计算上,往往通过补缺平面来使曲面变为闭合曲面,取外侧,然后用高斯公式
若空间里有奇点存在,可以在里面补上一个足够小的立体,取内测,然后用公式
然后也是针对第二类曲面积分的方法,向量点积法：只需向一个面作投影
∫∫∫Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ± ∫∫D [ - P • ∂z/∂x - Q • ∂z/∂y + R ] dxdy,上侧取正号,下侧取负号
其余两个也同样道理.
第一类曲面积分可以运用对称性化简：
在xoy面上,若曲面方程Σ关于z = 0对称
则∫∫Σ f(x,y,z) dS = { 0,f(x,y,z)关于z为奇函数.
{ 2∫∫Σ1 f(x,y,z) dS,f(x,y,z)关于z为偶函数,Σ1是Σ的上半部分.
若Σ是关于三个坐标面都对称,而f(x,y,z)关于x,y,z均为偶函数
有∫∫Σ f(x,y,z) dS = 8∫∫Σ1 f(x,y,z) dS,Σ1是Σ在第一挂限的部分(指(x,y,z) ≥ 0)
若闭合曲面Σ：F(x,y,z) = 0,关于x,y,z有轮换对称性(对换任意两个变量都不改变方程)
有∫∫Σ f(x) dS = ∫∫Σ f(y) dS = ∫∫Σ f(z) dS
==> ∮∮Σ [f(x) + f(y) + f(z)] dS = 3∮∮Σ f(x) dS
Note：第二类曲线/曲面积分不宜直接运用对称性：
因为它们都是具有方向的,等到化为重积分或第一类曲线/曲面积分后才好运用对称性来化简.