已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，侧面ACC1A1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）试判断A1A与平面A1BC是否垂直，并说明理由；（2）求侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦

Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC＝2，AC＝2√(3)，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：如图建立空间直角坐标系，
（1）有条件知B(0，0，0)，C(0，2，0)，A(2√(2)，0，0)，（1分）
由面ACC₁A₁⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知A1(√(2)，1，√(3))（2分）

AA1

＝(−√(2)，1，√(3))，

BC

＝(0，2，0)，
∵

AA1

•

作业帮用户 2017-10-17

问题解析

法一：（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积=0判定A₁A与平面A₁BC是否垂直；
（2）利用平面的法向量的数量积求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．
法二：（1）利用反证法证明A₁A与平面A₁BC不垂直；
（2）利用三垂线定理，作出二面角的平面角，然后求解即可．

名师点评

本题考点：

直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系．

考点点评：

本题考查直线与直线的垂直的判定，二面角的余弦值，考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何问题代数化，是中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议