如图，△ABC是以∠ABC为直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点．（1）求证：MN⊥AB；（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；（3）（理科）求点A到平面SND的距离

Question

如图，△ABC是以∠ABC为直角三角形，SA⊥平面ABCD，SA=BC=2，AB=4．M、N、D分别是SC、AB、BC的中点．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）（文科）求二面角S-ND-A的余弦值；
（3）（理科）求点A到平面SND的距离．

Answer 1

证明：（1）取AC的中点E，连接ME，NE，则ME∥SA
又∵SA⊥平面ABC，
∴ME⊥平面ABC
∴NE为MN在平面ABC内的射影
又∵N，E分别为AB，AC的中点
∴NE∥BC
∴NE⊥AB
由三垂线定理知MN⊥AB
（2）过A作AF⊥DN与DN的延长线相交于点F，连接SF
由三垂线定理知，∠SFA即为二面角S-ND-A的平面角
在Rt△DBN中，tan∠DNB=(DB)/(BN)=(1)/(2)
∴sin∠DNB=(5)/(5)
在Rt△AFN中，NF=AN•sin∠DNB=(25)/(5)
在Rt△SAF中，tan∠SFA=(SA)/(AF)=

5

∴cos∠SFA=(6)/(6)
即二面角S-ND-A的余弦值为(6)/(6)
（3）过点A作AH⊥SF于H
由（2）知平面SAF⊥平面SND
∴AH⊥平面SND
∴AH的长即为点A到平面SND的距离
在Rt△AHF中，AH=AF•sin∠SAF=(25)/(5)•(30)/(6)=(6)/(3)
故点A到平面SND的距离为(6)/(3)