1.设长方体的对角线的长度是4,每一点有两条棱与对角线的夹角都是60度,则此长方体的体积是?2.正方体的对角线长为3,则它的体积是?3.正方体的全面积为18,则它的体积是?

Question

1.设长方体的对角线的长度是4,每一点有两条棱与对角线的夹角都是60度,则此长方体的体积是?
2.正方体的对角线长为3,则它的体积是?
3.正方体的全面积为18,则它的体积是?

Answer 1

1 考虑一个顶点与该顶点处的三条棱
连接相应的面对角线,可以得到两个直角三角形,它们都有60度的锐角
所以长方体的长a=宽b=(1/2)*4=2
又a^2+b^2+c^2=4^2,即4+4+c^2=16,所以c=2√2
则体积=abc=8√2
2 边长为a
则a^2+a^2+a^2=3^2,即3a^2=9,所以a=√3
则体积=a^3=3√3
3 每个面的面积=18/6=3,所以边长a=√3
则体积=a^3=3√3