（2011•普陀区三模）如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；

Question

（2011•普陀区三模）如图，已知半径为r的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交点为P．

（1）若四边形ABCD中的一条对角线AC的长度为d（0＜d＜2r），试求：四边形ABCD面积的最大值；
（2）试探究：当点P运动到什么位置时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为多少？
（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形．如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）的内接四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直且交于点P．试提出一个由类比获得的猜想，并尝试给予证明或反例否定．

Answer 1

（1）因为对角线互相垂直的四边形ABCD面积S＝(|AC|•|BD|)/(2)，
而由于|AC|=d为定长，
则当|BD|最大时，四边形ABCD面积S取得最大值．由圆的性质，垂直于AC的弦中，直径最长，
故当且仅当BD过圆心M时，四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为dr．
（2）由题意，不难发现，当点P运动到与圆心M重合时，对角线AC和BD的长同时取得最大值|AC|=|BD|=2r，
所以此时四边形ABCD面积S取得最大值，最大值为2r²．
（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大．
类比猜想2：当点P在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形ABCD的面积最大．
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．
证：设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），平行弦MN的方程为y=kx+m，
联立可得b²x²+a²（kx+m）²-a²b²=0⇒（b²+a²k²）x²+2kma²x+m²a²-a²b²=0
不妨设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则|MN|＝

1+k2

|x1−x2|
=

1+k2

•

((−2kma2)/(b2+a2k2))2−4(m2a2−a2b2)/(b2+a2k2)

=(1+k2)/(b2+a2k2)•

4k2m2a4−4(m2a2−a2b2)(b2+a2k2)

=(1+k2)/(b2+a2k2)•

4a2b2(a2k2+b2−m2)

由于平行弦的斜率k保持不变，故可知当且仅当m=0时，即当直线经过原点时，
|MN|取得最大值|MN|＝2ab(1+k2)/(b2+a2k2)（*）．特别地，当斜率不存在时，此结论也成立．
由以上结论可知，类比猜想一正确．又对于椭圆内任意一点P构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心O重合的椭圆内接四边形A₁B₁C₁D₁，而其中|AC|≤|A₁C₁|，|BD|≤|B₁D₁|，
所以必有SABCD≤SA1B1C1D1．即证明了猜想二也是正确的．
类比猜想3：当点P•在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值2ab．
要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大．”在此基础上，可参考以下两种续证方法．
证法一：当点P在椭圆中心时，不妨设对角线AC所在直线的斜率为k．
（i）当k=0时，AC即为椭圆长轴，又AC⊥BD，故BD是椭圆的短轴．
所以此时椭圆内接四边形ABCD的面积为S_ABCD=2ab．
（ii）当k≠0时，对角线BD的斜率为−(1)/(k)．由此前证明过程中的（*）可知，|AC|＝2ab(1+k2)/(b2+a2k2)，
若将−(1)/(k)代换式中的k，则可得弦BD的长度，|BD|＝2ab

作业帮用户 2017-10-05

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1+(1)/(k2)