四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形，如图1，正方形EFGH就是正方形ABCD的内接正方形，已知正方形ABCD的边长为a．（1）请在图1中画出面积最小的正方形ABCD的内接正方

Question

四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形，如图1，正方形EFGH就是正方形ABCD的内接正方形，已知正方形ABCD的边长为a．
（1）请在图1中画出面积最小的正方形ABCD的内接正方形E₁F₁G₁H₁（要求用文字标明取点方法）；
（2）如图2，四边形E₂F₂G₂H₂是正方形ABCD的内接平行四边形，AE₂=x，AH₂=y，请探讨
①当x、y满足什么条件时，四边形E₂F₂G₂H₂是矩形；（要求写出过程）
②用x的代数式表示矩形E₂F₂G₂H₂的面积S，并写出S的取值范围．（直接写出结果）

Answer 1

（1）分别取正方形ABCD四边中点，顺次连接（2分）（注：本题画图2分）
（2）①证明：△AE₂H₂≌△CG₂F₂，得CF₂=AH₂=y；（3分）
△AE₂H₂∽△BF₂E₂，得(AH2)/(AE2)=(BE2)/(BF2)，
即(y)/(x)=(a−x)/(a−y)，（2分）
化简得：（x-y）（x+y-a）=0，
∴x=y或x+y=a，（2分）
∴当x、y满足x=y或x+y=a时，四边形E₂F₂G₂H₂是矩形；（1分）
②当x=y时，S=-2x²+2ax（0＜S≤(a2)/(2)）．（2分）
当x+y=a时，S=2x²-2ax+a²（(a2)/(2)≤S≤a²）．（2分）