等边三角形ABC的边长为23，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE=CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长

Question

等边三角形ABC的边长为2√(3)，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE=CF，连接AF，BE相交于点P．

（1）∠APB的度数；
（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；
（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．

Answer 1

（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，
又∵AE=CF，
在△ABE和△CAF中，

AB=AC

∠BAE=∠ACF

AE=CF

，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．
∴∠APB=180°-∠APE=120°．

（2）如图1，∵AE=CF，
∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，
∴∠AOB=120°，
又∵AB=2√(3)，
∴OA=2，
点P的路径是l=(nπr)/(180)=(120•π×2)/(180)=(4π)/(3)；

（3）如图2，∵AE=CF，
∴点P的路径是一段弧，
∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，
即点P为△ABC的中心，
过B作BE′⊥AC于E′，
∴PC=(2)/(3)BE′，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE′=(√(3))/(2)BC=3，
∴PC=2．
∴CP长度的最小值是2．