面积相等的三角形,如何证明等边三角形周长最小.悬赏可以参照上次的,

Question

面积相等的三角形,如何证明等边三角形周长最小.
悬赏可以参照上次的,

Answer 1

可以把命题转化为,证明同样的周长,等边三角形面积最大
因为若此命题成立,若存在面积一样的三角形,非等边三角形周长小于等边三角形,则把此非等边三角形化为等边三角形,则有小周长的等边三角形大于大周长的等边三角形,矛盾.故可知,只要可以证明上述命题即可
用海伦公式
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长:p=(a+b+c)/2
p为一个固定的周长,再用平均值不等式,可以得到结论.只有当a=b=c时有最大值,所以由上可以证明这个结论.
重点是这两个命题的等价,然后化为海伦公式和基本不等式